کار در کلاس ریاضی دهم
۱)
الف) یک دنباله‌ی حسابی با قدر نسبت مثبت مثال بزنید که جمله‌ی چهارم آن ۱۰ باشد.
ب) یک دنباله‌ی حسابی با قدر نسبت منفی مثال بزنید که جمله‌ی چهارم آن ۱۰ باشد.
پ) دنباله‌ای حسابی مثال بزنید که تنها سه جمله‌ی مثبت داشته باشد و سایر جملات آن منفی باشند.
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۲۳ ریاضی دهم
سلام! این تمرین شما را برای درک کامل **دنباله‌ی حسابی** و ارتباط بین $\mathbf{\text{t}_{\text{n}}}$, $\mathbf{\text{t}_{\text{۱}}}$, و $\mathbf{\text{d}}$ به چالش می‌کشد.
### الف) $\mathbf{\text{t}_{\text{۴}} = ۱۰}$ و $\mathbf{\text{d} > ۰}$ (قدر نسبت مثبت)
وقتی $\mathbf{\text{d} > ۰}$ است، دنباله **صعودی** است و جملات بزرگتر می‌شوند. ما می‌توانیم هر عدد مثبتی برای $\text{d}$ انتخاب کنیم و بعد $\text{t}_{\text{۱}}$ را محاسبه کنیم:
* **انتخاب $\mathbf{\text{d}}$:** $\text{d} = ۲$
* **محاسبه $\mathbf{\text{t}_{\text{۱}}}$:** از فرمول $\text{t}_{\text{۴}} = \text{t}_{\text{۱}} + ۳\text{d}$ استفاده می‌کنیم:
$$۱۰ = \text{t}_{\text{۱}} + ۳(۲)$$
$$۱۰ = \text{t}_{\text{۱}} + ۶ \Longrightarrow \text{t}_{\text{۱}} = ۴$$
* **دنباله:** $\text{t}_{\text{۱}}=۴$, $\text{t}_{\text{۲}}=۶$, $\text{t}_{\text{۳}}=۸$, $\mathbf{\text{t}_{\text{۴}}=۱۰}, \text{t}_{\text{۵}}=۱۲, \dots$
$$\mathbf{\{۴, ۶, ۸, ۱۰, ۱۲, \dots\}}$$
---
### ب) $\mathbf{\text{t}_{\text{۴}} = ۱۰}$ و $\mathbf{\text{d} < ۰}$ (قدر نسبت منفی)
وقتی $\mathbf{\text{d} < ۰}$ است، دنباله **نزولی** است و جملات کوچکتر می‌شوند.
* **انتخاب $\mathbf{\text{d}}$:** $\text{d} = -۵$
* **محاسبه $\mathbf{\text{t}_{\text{۱}}}$:** دوباره از فرمول $\text{t}_{\text{۴}} = \text{t}_{\text{۱}} + ۳\text{d}$ استفاده می‌کنیم:
$$۱۰ = \text{t}_{\text{۱}} + ۳(-۵)$$
$$۱۰ = \text{t}_{\text{۱}} - ۱۵ \Longrightarrow \text{t}_{\text{۱}} = ۲۵$$
* **دنباله:** $\text{t}_{\text{۱}}=۲۵, \text{t}_{\text{۲}}=۲۰, \text{t}_{\text{۳}}=۱۵, \mathbf{\text{t}_{\text{۴}}=۱۰}, \text{t}_{\text{۵}}=۵, \dots$
$$\mathbf{\{۲۵, ۲۰, ۱۵, ۱۰, ۵, \dots\}}$$
---
### پ) تنها سه جمله‌ی مثبت و بقیه منفی
برای اینکه یک دنباله فقط ۳ جمله‌ی مثبت داشته باشه، باید:
1. **قدر نسبت منفی** ($athbf{\text{d} < ۰}$) باشه تا دنباله رو به سمت منفی‌ها بره.
2. جمله‌ی $athbf{\text{t}_{\text{۳}}}$ مثبت و $athbf{\text{t}_{\text{۴}}}$ منفی باشه، یعنی:
$$\text{t}_{\text{۳}} > ۰ \quad \text{و} \quad \text{t}_{\text{۴}} < ۰$$
* **انتخاب $\mathbf{\text{d}}$:** $\text{d} = -۴$
* **انتخاب $\mathbf{\text{t}_{\text{۳}}}$:** برای ساده‌سازی، $\mathbf{\text{t}_{\text{۳}} = ۳}$ را در نظر می‌گیریم (مثبت).
* **محاسبه $\mathbf{\text{t}_{\text{۴}}}$:** $\text{t}_{\text{۴}} = \text{t}_{\text{۳}} + \text{d} = ۳ + (-۴) = -۱$ (منفی - شرط برقرار شد!)
* **محاسبه $\mathbf{\text{t}_{\text{۲}}}$ و $\mathbf{\text{t}_{\text{۱}}}$:**
* $\text{t}_{\text{۲}} = \text{t}_{\text{۳}} - \text{d} = ۳ - (-۴) = ۷$ (مثبت)
* $\text{t}_{\text{۱}} = \text{t}_{\text{۲}} - \text{d} = ۷ - (-۴) = ۱۱$ (مثبت)
* **دنباله:** $\mathbf{\text{t}_{\text{۱}}=۱۱}, \mathbf{\text{t}_{\text{۲}}=۷}, \mathbf{\text{t}_{\text{۳}}=۳}, \text{t}_{\text{۴}}=-۱, \text{t}_{\text{۵}}=-۵, \dots$
$$\mathbf{\{۱۱, ۷, ۳, -۱, -۵, \dots\}}$$
(تنها سه جمله‌ی اول (۱۱، ۷، ۳) مثبت هستند.)
کار در کلاس ریاضی دهم
۲)
الف) بین ۱۸ و ۶۲ سه عدد چنان قرار دهید که پنج عدد حاصل تشکیل دنباله‌ی حسابی بدهند. در این حالت می‌گوییم بین ۱۸ و ۶۲ سه **واسطه‌ی حسابی** درج کرده‌ایم.
**حل:** با فرض اینکه $\text{t}_{\text{۱}}$ جمله اول باشد، قدر نسبت را به دست آورید و جدول را کامل کنید.
$$\begin{cases} \text{t}_{\text{۱}} = ۱۸ \\ \text{t}_{\text{۵}} = ۶۲ \end{cases} \Longrightarrow \text{t}_{\text{۱}} + ۴\text{d} = ۶۲ \Longrightarrow \text{d} = $$
| $\text{t}_{\text{۱}}$ | $ $ | $ $ | $ $ | $\text{t}_{\text{۵}}$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| ۱۸ | | | | ۶۲ |
ب) بین ۲۰ و ۸۰ به تعداد مشخص شده در هر مورد واسطه‌ی حسابی درج کنید.
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ صفحه ۲۳ ریاضی دهم
مفهوم **واسطه‌ی حسابی** (Arithmetic Mean) یک ابزار مهم در دنباله‌های حسابی است. برای درج **k** واسطه‌ی حسابی بین دو عدد $\text{A}$ و $\text{B}$، تعداد کل جملات دنباله $\mathbf{\text{n} = \text{k} + ۲}$ خواهد بود.
### الف) درج سه واسطه‌ی حسابی بین ۱۸ و ۶۲
* **$athbf{\text{k}=۳}$** (تعداد واسطه‌ها). پس تعداد کل جملات $\text{n} = ۳+۲ = ۵$ است.
* **جملات:** $\text{t}_{\text{۱}} = ۱۸$ و $\text{t}_{\text{۵}} = ۶۲$.
**۱. محاسبه‌ی قدر نسبت (d):**
از فرمول $\text{t}_{\text{n}} = \text{t}_{\text{k}} + (\text{n}-\text{k})\text{d}$ استفاده می‌کنیم: $\text{t}_{\text{۵}} = \text{t}_{\text{۱}} + ۴\text{d}$.
$$۶۲ = ۱۸ + ۴\text{d}$$
$$۶۲ - ۱۸ = ۴\text{d}$$
$$۴۴ = ۴\text{d} \Longrightarrow \mathbf{\text{d} = ۱۱}$$
**۲. تکمیل جدول (محاسبه‌ی واسطه‌ها):**
واسطه‌ها را با افزودن $\text{d}=۱۱$ به دست می‌آوریم:
* $\mathbf{\text{t}_{\text{۲}}}$ (واسطه‌ی اول): $۱۸ + ۱۱ = ۲۹$
* $\mathbf{\text{t}_{\text{۳}}}$ (واسطه‌ی دوم): $۲۹ + ۱۱ = ۴۰$
* $\mathbf{\text{t}_{\text{۴}}}$ (واسطه‌ی سوم): $۴۰ + ۱۱ = ۵۱$
| $\text{t}_{\text{۱}}$ | $\mathbf{\text{t}_{\text{۲}}}$ | $\mathbf{\text{t}_{\text{۳}}}$ | $\mathbf{\text{t}_{\text{۴}}}$ | $\text{t}_{\text{۵}}$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| ۱۸ | **۲۹** | **۴۰** | **۵۱** | ۶۲ |
**پاسخ:** سه واسطه‌ی حسابی درج شده عبارتند از **۲۹، ۴۰، ۵۱**.
---
### ب) درج واسطه‌ی حسابی بین ۲۰ و ۸۰
در اینجا، $\text{t}_{\text{۱}}=۲۰$ و $\text{t}_{\text{آخر}}=۸۰$. باید قدر نسبت را برای هر ردیف محاسبه کنیم: $\text{d} = \frac{\text{t}_{\text{n}} - \text{t}_{\text{۱}}}{\text{n}-۱}$ که $\text{n}$ تعداد کل جملات است.
#### ۱. درج ۱ واسطه ($athbf{\text{n}=۲+۱=۳}$)
$$\text{d} = \frac{۸۰ - ۲۰}{۳-۱} = \frac{۶۰}{۲} = ۳۰$$
* **دنباله:** $۲۰, \mathbf{۵۰}, ۸۰$
#### ۲. درج ۲ واسطه ($athbf{\text{n}=۲+۲=۴}$)
$$\text{d} = \frac{۸۰ - ۲۰}{۴-۱} = \frac{۶۰}{۳} = ۲۰$$
* **دنباله:** $۲۰, \mathbf{۴۰}, \mathbf{۶۰}, ۸۰$
#### ۳. درج ۳ واسطه ($athbf{\text{n}=۳+۲=۵}$)
$$\text{d} = \frac{۸۰ - ۲۰}{۵-۱} = \frac{۶۰}{۴} = ۱۵$$
* **دنباله:** $۲۰, \mathbf{۳۵}, \mathbf{۵۰}, \mathbf{۶۵}, ۸۰$
#### ۴. درج ۴ واسطه ($athbf{\text{n}=۴+۲=۶}$)
$$\text{d} = \frac{۸۰ - ۲۰}{۶-۱} = \frac{۶۰}{۵} = ۱۲$$
* **دنباله:** $۲۰, \mathbf{۳۲}, \mathbf{۴۴}, \mathbf{۵۶}, \mathbf{۶۸}, ۸۰$
#### ۵. درج ۵ واسطه ($athbf{\text{n}=۵+۲=۷}$)
$$\text{d} = \frac{۸۰ - ۲۰}{۷-۱} = \frac{۶۰}{۶} = ۱۰$$
* **دنباله:** $۲۰, \mathbf{۳۰}, \mathbf{۴۰}, \mathbf{۵۰}, \mathbf{۶۰}, \mathbf{۷۰}, ۸۰$
(محتمل نیست که تصویر مناسب نمایش داده شود)
